一級構造(静定構造物の応力)

解答　3：静定構造物かどうかを判断するには、判別式を用いる。
m = n + s + r – 2k ( m = 0で静定)
n : 反力数
s : 部材数
r : ある節点において、1つの材に剛接合されている部材数
k：支点と節点の数(支点と節点が一点に集まっているときは、まとめて1つと数える)
1. m = 3 + 4 + 0 – 2・4 = -1 (不安定)
2．m = 5 + 4 + 0 – 2・4 = +1 (安定で1次不静定)
3. m = 4 + 4 + 0 – 2・4 = 0 (安定で静定)
4．m = 6 + 4 + 1 – 2・5 = +1 (安定で1次不静定)
(関連問題：平成20年1級学科4、No.06)

解答　4：静定構造物かどうかを判断するには、判別式を用いる。
m = n + s + r – 2k ( m = 0で静定)
n : 反力数
s : 部材数
r : ある節点において、1つの材に剛接合されている部材数
k：支点と節点の数(支点と節点が一点に集まっているときは、まとめて1つと数える)
1. m = 5 + 6 + 2 – 2・7 = -1 (不安定)
2．m = 3 + 4 + 0 – 2・4 = -1 (不安定)
3．m = 5 + 4 + 0 – 2・4 = +1 (安定で1次不静定)
4. m = 3 + 5 + 2 – 2・5 = 0 (安定で静定)
4．m = 4 + 3 + 2 – 2・4 = +1 (安定で1次不静定)
(関連問題：令和元年1級学科5、No.06)

解答　2：3ヒンジラーメン構造であるため、反力を求めるためには4つの式が必要になる。ここでは(ⅰ)ΣX=0、(ⅱ)ΣY=0、(ⅲ)ΣM=0の3つの釣り合い式および、(ⅳ)O点の右側の曲げモーメントの合計の式から求める。(ⅰ)ΣX = 0
⇔ H₁ + H₂ – P = 0・・・①
(ⅱ)ΣY = 0
⇔ R₁ + R₂  = 0・・・② 
(ⅲ)ΣM₁= 0
⇔ P×l – R₂×2l = 0
⇔ R₂ = (1/2)P(上向き)・・・③
(ⅳ)ΣM₀(右)= 0
⇔ H₂×(3/2)l – R₂×l = 0
⇔ H₂ = (2/3)R₂・・・④

③を④に代入し、
H₂ = (1/3)P(左向き)・・・⑤
⑤を①に代入し、
H₁ + (1/3)P – P = 0
⇔ H₁ = (2/3)P(左向き)・・・⑥
③を②に代入し、
R₁ = – (1/2)P(下向き)・・・⑧
次にA点に生じる曲げモーメントM_Aの絶対値を求める。この時、点Aから左下を見る(上図を参照)。
M_A = H₁×l 
      = (2/3)P×l
      = 2Pl / 3
よって、その絶対値は 2Pl / 3となる。

(関連問題：平成27年1級学科4、No.03、平成24年1級学科4、No.02、平成22年1級学科4、No.04、平成21年1級学科4、No.03、令和元年2級学科3、No.04、平成29年2級学科3、No.04、平成28年2級学科3、No.04、平成27年2級学科3、No.04、平成26年2級学科3、No.04、平成25年2級学科3、No.03、平成24年2級学科3、No.05、平成23年2級学科3、No.05、平成21年2級学科3、No.05)

解答　1：まず反力を求めるために以下の図のように反力を仮定して、(ⅰ)ΣX=0、(ⅱ)ΣY=0、(ⅲ)ΣM=0の3つの釣り合い式をたてる。(ⅰ)ΣX = 0
⇔ H₁ – P = 0
⇔ H₁ = P・・・①
(ⅱ)ΣY = 0
⇔ R₁ + R₂ – 4P = 0・・・②
(ⅲ)ΣM₁= 0
⇔  P×2l + 4P×l – R₂×2l = 0
⇔ R₂ = 3P (上向き)・・・③
③を②に代入して、
R₁ + (3P) – 4P = 0
R₁ = P

次にA点に生じる曲げモーメントM_Aの絶対値を求める。この時、点Aから左下を見る。
M_A = H₁×2l 
      = P×2l
      = 2Pl (選択肢2・4は誤り)

そしてB点に生じる曲げモーメントM_Bは０なので、選択肢1が正しい。

解答　4：3ヒンジラーメン構造であるため、反力を求めるためには4つの式が必要になる。ここでは(ⅰ)ΣX=0、(ⅱ)ΣY=0、(ⅲ)ΣM=0の3つの釣り合い式および、(ⅳ)C点の左側の曲げモーメントの合計の式から求める。(ⅰ)ΣX = 0
⇔ H_A + H_E – P = 0・・・①
(ⅱ)ΣY = 0
⇔ R_A + R_E  = 0・・・② 
(ⅲ)ΣM_A = 0
⇔ P×3l – R_E×3l = 0
⇔ R_E = P(上向き)・・・③
(ⅳ)ΣM_C(左)= 0
⇔ H_A×3l + R_A×(3/2)l = 0
⇔ H_A = -(1/2)R_A・・・④

③を②に代入し、
R_A + (P)  = 0
⇔ R_A = – P(選択肢2は正しい記述)・・⑤
⑤を④に代入し、
H_A = -(1/2)R_A = (1/2)P(肢1は正しい記述)・・⑥
部材ABの材端Ｂにおける曲げモーメントの大きさは、
M_B = H_A×2l = Pl (肢3は正しい記述)
上図はモーメントを表している。部材BCのせん断力Q_BCの大きさは、BC部材間のモーメントから導き出せる。

この時の部材の長さ(x)は、ピタゴラスの定理を用いて、
x² = {(3/2)l}² + l²
⇔ x = 1.8l
よって、
Q_BC = (Pl ＋ ０) / 1.8l = 0.56P(肢4は誤りの記述)

(関連問題：平成24年1級学科4、No.02、平成22年1級学科4、No.04、平成21年1級学科4、No.03、令和元年2級学科3、No.04、平成29年2級学科3、No.04、平成28年2級学科3、No.04、平成27年2級学科3、No.04、平成26年2級学科3、No.04、平成25年2級学科3、No.03、平成24年2級学科3、No.05、平成23年2級学科3、No.05、平成21年2級学科3、No.05)

解答　1：設問より、固定端Aにはモーメントが作用していない。これより M_A=0 の条件式が成り立つので、
M_A=0
⇔ P×l – Q×l = 0
⇔ P = Q
よって、P : Q = 1 : 1

解答　3：3ヒンジラーメン構造であるため、反力を求めるためには4つの式が必要になる。ここでは(ⅰ)ΣX=0、(ⅱ)ΣY=0、(ⅲ)ΣM=0の3つの釣り合い式および、(ⅳ)O点の右側の曲げモーメントの合計の式から求める。(ⅰ)ΣX = 0
⇔ H₁ + H₂ – P = 0・・・①
(ⅱ)ΣY = 0
⇔ R₁ + R₂  = 0・・・② 
(ⅲ)ΣM₁= 0
⇔ P×l – R₂×2l = 0
⇔ R₂ = (1/2)P(上向き)・・・③
(ⅳ)ΣM₀(右)= 0
⇔ H₂×2l – R₂×l = 0
⇔ H₂ = (1/2)R₂・・・④

③を④に代入し、
H₂ = (1/4)P(左向き)・・・⑤
⑤を①に代入し、
H₁ + (1/4)P – P = 0
⇔ H₁ = (3/4)P(左向き)・・・⑥
③を②に代入し、
R₁ = – (1/2)P(下向き)・・・⑧次にA点に生じる曲げモーメントM_Aの絶対値を求める。この時、点Aから左下を見る(上図を参照)。
M_A = H₁×l 
      = (3/4)P×l
      = 3Pl / 4
よって、その絶対値は 3Pl / 4となる。

(関連問題：平成30年1級学科4、No.03、平成27年1級学科4、No.03、平成24年1級学科4、No.02、平成21年1級学科4、No.03、令和元年2級学科3、No.04、平成29年2級学科3、No.04、平成28年2級学科3、No.04、平成27年2級学科3、No.04、平成26年2級学科3、No.04、平成25年2級学科3、No.03、平成24年2級学科3、No.05、平成23年2級学科3、No.05、平成21年2級学科3、No.05)

解答　3：3ヒンジラーメン構造であるため、反力を求めるためには4つの式が必要になる。ここでは(ⅰ)ΣX=0、(ⅱ)ΣY=0、(ⅲ)ΣM=0の3つの釣り合い式および、(ⅳ)O点の右側の曲げモーメントの合計の式から求める。
(ⅰ)ΣX = 0
⇔ H₁ + H₂ + 10P = 0・・・①
(ⅱ)ΣY = 0
⇔ R₁ + R₂ – 15P = 0・・・② 
(ⅲ)ΣM₁= 0
⇔ 15P×2l – 10P×l + H₂×l – R₂×3l = 0
⇔ H₂ – 3R₂ + 20P = 0・・・③
(ⅳ)ΣM₀(右)= 0
⇔ 2H₂ – R₂ = 0
⇔ R₂ = 2H₂・・・④

④を③に代入し、
H₂ + 3(-2H₂)+ 20P = 0
⇔ -5H₂ = -20P
⇔ H₂ = 4P(左向き)・・・⑤
⑤を①に代入し、
H₁ + (4P) + 10P = 0
⇔ H₁ = -14P(右向き)・・・⑥
⑤を④に代入し、
R₂ = 2(4P) = 8P・・・⑦
⑦を②に代入し、
R₁ + (8P) – 15P = 0
R₁ = 7P・・・⑧
次にA点に生じる曲げモーメントM_Aの絶対値を求める。この時、点Aから左下を見る(上図を参照)。
M_A = – H₁×l 
      = – 14P  × l
      = – 14Pl
よって、その絶対値は 14Pl となる。

(関連問題：平成24年1級学科4、No.02、平成22年1級学科4、No.04、令和元年2級学科3、No.04、平成29年2級学科3、No.04、平成28年2級学科3、No.04、平成27年2級学科3、No.04、平成26年2級学科3、No.04、平成25年2級学科3、No.03、平成24年2級学科3、No.05、平成23年2級学科3、No.05、平成21年2級学科3、No.05)

解答　5：下図のように反力を仮定する。ΣH = 0 ⇔ H_D = 0
ΣV = 0 ⇔ R_D + R_E = 0
ΣM_D =  0 ⇔ M – M – 6l×R_E = 0
　　　　　 ⇔ R_E = 0
よってR_E = 0次に上図のように点Cから左に注目し、M_Cを求める。
M_C = M

解答　2：設問の剛体は、力Fによって左から押されている。そのため転倒するときは図の点Oを支点として時計回りに転倒する。転倒するときは、WとFが釣り合っている状態である。図のようにモーメントを置き、Fに関するモーメントM₁は、

Wに関するモーメントM₂は、

よって浮き上がり始めるときは、
M₁ = M₂ ⇔ F × 500 = W × 150
               ⇔F/W = 150/500
                         =  0.30
よって、α = F/W = 0.30
 (関連問題：平成27年1級学科4、No.06)

解答　2：設問の剛体は、力Fによって左から押されている。そのため転倒するときは図の点Oを支点として時計回りに転倒する。転倒するときは、WとFが釣り合っている状態である。図のようにモーメントを置き、Fに関するモーメントM₁は、

Wに関するモーメントM₂は、

よって浮き上がり始めるときは、
M₁ = M₂ ⇔ F × 4a = W × 2a
               ⇔F/W = 2a/4a
                         =  0.50
よって、α = F/W = 0.30
 (関連問題：平成30年1級学科4、No.06)

解答　2：反力を求めた後、下図のように切断し、切断法によって部材ABの軸方向力を求める。求める部材ABを含んでトラスを切断し、垂直方向の釣り合い条件から求める。この時、N_ABの垂直方向の力(N_AB(Y))は、(√3 /2)・N_ABとなる。
ΣY = 0
⇔ 6/7 P – P – N_AB(Y) = 0
⇔ 6/7 P – P – (√3 /2)・N_AB = 0
⇔ N_AB = (2/√3) ・-1/7 P = – (2/7√3) P(選択肢2)

解答　3：下図の力の釣り合いから、N_AとN_Cを求める。角度45度の二等辺三角形の辺の比は1:1:√2であることから、
1：1：√2 = P：N_C：N_A
よって、N_A= −√2 P(圧縮力)、N_C= P(引張力)となる。

また、部材と外力が4つ集まる接点で、その作用点が十字形に2つの一直線上の軸方向力と外力は等しい。この時のN_Cは、N_C = P であるから、
N_B = N_C = +P(引張力)

解答　4：反力を求めた後、下図のように切断し、切断法によって部材ABの軸方向力を求める。
求める部材ABを含んでトラスを切断し、垂直方向の釣り合い条件から求める。この時、N_ABの垂直方向の力(N_AB(Y))は、(1/√2)・N_ABとなる。
ΣY = 0
⇔ 2P – P – N_AB(Y) = 0
⇔ 2P – P – (1/√2)・N_AB = 0
⇔ N_AB = +√2 P(選択肢4)

解答　4：反力を求め、下図のように切断し、切断法によって部材ABの軸方向力を求める。便宜的に外力２Pが作用する点を点Cとする。求める部材ABを含んでトラスを切断し、釣り合い条件から求める。
ΣM_C = 0
⇔ 2P×(3/2)l – P×(3/4)l + (√3/2)l ×N_AB = 0
⇔ (√3/2)l ×N_AB = – 3Pl + (3/4)Pl
⇔ N_AB = 9/ 2√3 = + 3√3 / 2

解答　3：反力を求めた後、下図のように切断し、切断法によって部材ABの軸方向力を求める。
求める部材ABを含んでトラスを切断し、垂直方向の釣り合い条件から求める。この時、N_ABの垂直方向の力(N_AB(Y))は、(1/√2)・N_ABとなる。
ΣY = 0
⇔ – P + N_AB(Y) = 0
⇔ – P + (1/√2)・N_AB = 0
⇔ N_AB = –√2 P(選択肢2)

解答　1：反力等を求めなくても支持力図のみで解答を導くことができる。よって、N_Bは引張力、N_Cは圧縮力よって、N_Dは圧縮力、N_Aは引張力よって、N_Eは圧縮力

解答　1：反力を求めた後、下図のように切断し、切断法によって部材ABの軸方向力を求める。求める部材ABを含んでトラスを切断し、垂直方向の釣り合い条件から求める。この時、N_ABの垂直方向の力(N_AB(Y))は、(1/√2)・N_ABとなる。
ΣY = 0
⇔ -(1/2)P – N_AB(Y) = 0
⇔ -(1/2)P – (1/√2)・N_AB = 0
⇔ N_AB = -√2・(1/2)P = –√2/2 P (選択肢1)

解答　4：反力を求めた後、下図のように切断し、切断法によって部材ABの軸方向力を求める。求める部材ABを含んでトラスを切断し、垂直方向の釣り合い条件から求める。この時、N_ABの垂直方向の力(N_AB(Y))は、(1/√2)・N_ABとなる。
ΣY = 0
⇔ 5/2 P – P – N_AB(Y) = 0
⇔ 5/2 P – P – (1/√2)・N_AB = 0
⇔ N_AB = +(3√3)/2 P (選択肢4)

解答　3：反力を求めた後、下図のように切断し、切断法によって部材ABの軸方向力を求める。求める部材ABを含んでトラスを切断し、垂直方向の釣り合い条件から求める。この時、N_ABの垂直方向の力(N_AB(Y))は、(√3 /2)・N_ABとなる。
ΣY = 0
⇔ 1/3 P – N_AB(Y) = 0
⇔ 1/3 P – (√3 /2)・N_AB = 0
⇔ N_AB = (2/√3) ・1/3 P =  2/(3√3) P(選択肢3)

解答　5：下図のように切断し、切断法によって部材ABの軸方向力を求める。求める部材ABを含んでトラスを切断し、釣り合い条件から求める。(この問題の場合、片持ち系トラスなので、反力を求めなくても、自由端側のみで求めることができる。)
ΣM_C = 0
⇔ -P×2l – 2P×l + N_AB × √(2)l = 0
⇔ N_AB × √(2)l = 4Pl
⇔ N_AB = 4P/√2 = 2√2 P(引張力)

解答　2：軸方向力が0の部材を除くと以下のように簡略化できる。図より、右の柱を、斜材が支えているような形であることが分かる。部材ABのせん断力は題意のせん断力の向きと逆になっているため「-」となる。部材BCのせん断力は「+」となる。

解答　3：左下の支点を「B」とし、支点Bの水平反力H_B、鉛直反力V_B、モーメント反力M_Bを求める。
V_B = 120kN/2 = 60kN(上向き)
M_B = 100kN・m
C点はピンなので、M_C = 0となり、
-H_B × 5m + M_B = 0
-H_B × 5m + 100kN = 0
H_B = 20kN(右向き)

部材Aの軸方向力をN_Aとし、D点はピンであることから、モーメントのつり合い条件を用いて求める。
ΣM_D(左) = 0より、
-H_B×8m + V_B×4m + M_B – N_A×3m = 0
-20kN×8m + 60kN×4m + 100kN・m – N_A×3m = 0
N_A×3m = 180kN・m
N_A = 60kN・m