一級構造(断面の性質・座屈)

解答　3：A、BのX軸周りの断面二次モーメントは、下図のように求める。
I_xA = {6a×(8a)³}/12 – {4a×(4a)³}/12
      = (3,072a⁴ – 256a⁴)/12 = 2,816a⁴/12
I_xB = {6a×(8a)³}/12 – 2×{2a×(4a)³}/12
      = (3,072a⁴ – 256a⁴)/12 = 2,816a⁴/12
I_xC = {4a×(8a)³}/12 = 2,048a⁴/12
よって、I_xA = I_xB > I_xC
次に、Y軸周りの断面二次モーメントを求める。
I_yA = {8a×(6a)³}/12 – {4a×(4a)³}/12
      = (1,728a⁴ – 256a⁴)/12 = 1,472a⁴/12
I_yB = 2×{2a×(6a)³}/12 + {4a×(2a)³}/12
      = (864a⁴ + 32a⁴)/12 = 896a⁴/12
I_yC = {8a×(4a)³}/12 = 512a⁴/12
よって、I_xA > I_xB > I_xC

解答　4：長方形の断面二次モーメントは I = bh³/12、円(直径D)の断面二次モーメントは、 I =πD⁴/64 である。また断面Bは以下の図のように求める。
I_xA = {a×(2a)³}/12 = 8a⁴/12 = 0.67a⁴
I_xB = {2a×(2a)³}/12 – (a×a³⁾/12
      = (16a⁴ – a⁴)/12 = 15a⁴/12 = 1.25a⁴
I_xC = π×(2a)⁴/64 = 3.14×16a⁴/64 = 0.785a⁴
よって、I_xB > I_xC > I_xA

解答　3：弾性座屈荷重の理論値P_eは、下の式から求められる。

(E：ヤング係数、I：断面二次モーメント、l_k：座屈長さ)
題意より、等質等断面であるからEとIは同じである。共通項πを除き、構造物A、B、Cの弾性座屈荷重の大小関係は「1 / l_k²」で比較する。
また座屈長さ(l_k)の理論値は以下の表による。構造物A、B、Cの座屈長さl_kを、それぞれ求めていくと、

構造物A：移動に対する条件は自由、一端ピン、他端固定
l_kA = 2l = 2 × 2h = 4h
構造物B：移動に対する条件は自由、両端固定
l_kB = l = 5h
構造物C：移動に対する条件は拘束、両端固定
l_kC = 0.5l = 0.5 × 6h = 3h
したがって、l_kB > l_kA > l_kC となり、P_eはl_kの２条に反比例するため、
P_C > P_A > P_B

解答　4：弾性座屈荷重(Pe)は、以下の式で求められる。

弾性座屈荷重は、柱材の断面積には直接関係しない。ただし、一辺をaとする正方形断面の断面二次モーメント(I)に比例する。( I = a⁴ / 12 )

(関連問題：平成24年1級学科4、No.06、平成22年1級学科4、No.06、平成25年2級学科3、No.06、平成21年2級学科3、No.07)

解答　3：弾性座屈荷重(P_e)は、以下の式で求めることができる。

(E：ヤング係数、I：断面二次モーメント、l_k：座屈長さ)
題意より、柱A、B、C、Dは等質等断面であるので、E、I、πは一定である。よって、弾性座屈荷重(P_e)の大小関係は、1/l_k²で比較する。
上の表から、座屈長さの大小関係は、l_kA<l_kC<l_kB<l_kDとなり、
座屈荷重の大小関係は、P_eD<P_eB<P_eC<P_eA
よって、選択肢３「P_eは、柱の材端条件が、Cの場合よりAの場合のほうが大きい」は誤り。

解答　2：弾性座屈荷重(Pe)は、以下の式で求められる。

座屈長さは柱の長さに比例する。よってPeは、柱の長さの2乗に反比例する。したがって、Peは柱の長さが1/2倍になると、1/4倍になる。

解答　1：弾性座屈荷重(P_e)は、以下の式で求めることができる。

(E：ヤング係数、I：断面二次モーメント、l_k：座屈長さ)
題意より、柱A、B、C、Dは、材長が同じlで、材質が同じであることからヤング係数Eも同じ、座屈長さl_kはlとなる(下表を参考)。以上から、弾性座屈係数P_A、P_B、P_Cの大小関係は、断面二次モーメントで比較できる。
さて、その断面二次モーメントはそれぞれ以下のように計算される。
I_yA = (10×30³/12)×2 + (15×10³/12)
     = (555×10³⁾ /12
I_yB = (10×20³/12)×2 + (35×10³/12)
     = (195×10³⁾ /12
I_yC = (37.5×20³/12)
     = (300×10³⁾ /12
それぞれを比較すると、
I_yA > I_yC >I_yB となり、P_A > P_C > P_{B 。}