一級構造(応力度・変形)

解答　2：底部a-a断面における垂直応力度(σ)は、次式で表される。

σ=−(N/A)±(M/Z) ・・・①

(N:圧縮力、A：断面積、M：曲げモーメント、Z：断面係数)
それぞれ計算すると、
N：120kN = 120,000N
A：200mm×300mm= 60,000mm²
M：15kN×2,000mm= 15,000N×2,000mm= 30,000,000N・mm
Z：bh²/6 = 200mm×(300mm)²= 3,000,000mm³
以上を①式に代入すると、
引張応力度σ= -2N/mm² + 10N/ mm²
　　            =+8N/mm²
圧縮応力度σ= -2N/mm² – 10N/ mm²
　　            = -12N/mm²

解答　3：底部a-a断面における垂直応力度(σ)は、次式で表される。

σ=−(N/A)±(M/Z) ・・・①

(N:圧縮力、A：断面積、M：曲げモーメント、Z：断面係数)
この時、圧縮側は「-」、引張側は「＋」で計算する。
それぞれ、
N = P、A = BD、M = Ql、Z：BD²/6 となる。

この問題においては２つの応力度、すなわち「Qによる応力度(①)」と「鉛直荷重による応力度(②)」がかかっている。この２つの応力度をそれぞれ求め、それらを合計することによって図-2のような垂直応力度分布となる。上の図を左右に分け、それぞれに垂直応力度を求める。

①「Qによる応力度」、すなわちM/Zを求めると、
　左：+ M_左/Z = + (Q×l) / (BD²/6 ) = + 6Ql / BD²
　右：− M_右/Z = − (Q×l) / (BD²/6 ) = − 6Ql / BD²
②「鉛直荷重による応力度」、すなわちN/Aを求めると、
　左：− N_左/A = − P / BD
　右：− N_右/A = − P / BD

以上の①と②を合わせると、
　左： + 6Ql / BD² − P / BD = -σ・・・①
　右： − 6Ql / BD² − P / BD = -２σ・・・②
となり、①式+②式で連立させると、
　− 2 P / BD = – 3σ
⇔ P = 3BDσ/2・・・③

③式を①に代入すると、
　6Ql / BD² − (3BDσ/2) / BD = −σ
⇔6Ql / BD² − 3σ/2 = −σ
⇔6Ql / BD² = −σ + (3/2)σ
⇔6Ql / BD² = (1/2)σ
⇔Q = σBD²/ 12l

解答　3：「圧縮応力度と圧縮側曲げ応力度の和」は、以下の式で求められる。

σ = – N/A – M/Z

(N：圧縮力、A：断面積、M：曲げモーメント、Z：断面係数)

①地震時に柱に生じる応力(N、M)を算出する。地震時に生じる応力は、鉛直荷重時に作用する応力に、水平荷重時に作用する応力を加えたものである。したがって、N図、M図は以下の通りになる。D点に生じるN、Mがいずれも最大値であることから、D点のσが最大値となる。
②D点の「圧縮応力度と圧縮側曲げ応力度の和」を求める。
σ = – (200×10³/1.0×10⁴) – (300×10⁶/2.0×10⁶)
    = – 20 – 150
    = – 170
よって、σ最大値は、170N/mm²

解答　2：集中荷重が作用する単純ばりの弾性たわみδは、
δ = (1/48)・(Pl³/EI)
で求められる。題意より、荷重はP、ヤング係数はE、スパンlは等しく、1/48は定数である。これより、上の式は以下のように省略して比較することができる。
δ’ = 1/I
①梁Aの断面二次モーメントI_A
I_A = ｛2a × (2a)³｝/12 = 16a⁴/12
よって、δ_A = 1/I = 12/16a⁴
②梁Bの断面二次モーメントI_B
I_B = ｛a × (2a)³｝/12 ×2 = 16a⁴/12
よって、δ_B = 1/I = 12/16a⁴
③梁Cの断面二次モーメントI_C
I_C = ｛2a × (a)³｝/12 ×2 = 4a⁴/12
よって、δ_C = 1/I = 12/4a⁴
以上より、δ_A：δ_B：δ_C = 1/16 : 1/16 : 1/4 = 1:1:4

解答　2：集中荷重が作用する弾性たわみδは、
・片持ち梁は、δ_A = (1/3)・(Pl³/EI)
・単純梁は、δ_B = (1/48)・(Pl³/EI)
で求められる。題意より、荷重はP_AとP_B、ヤング係数と断面二次モーメント、スパンは梁Aはl、梁Bは2lである。これより、上の式は以下のように省略して比較することができる。
δ_A = (1/3)・P_A・l³
δ_B = (1/48)・P_B・(2l)³
題意より、δ_A =δ_B なので、
(1/3)・P_A・l³ = (1/48)・P_B・(2l)³
⇔ 48P_A = 24P_B
よって、P_A : P_B = 24 : 48 = 1 : 2

解答　3：集中荷重が作用する単純ばりの弾性たわみδは、
δ = (1/48)・(Pl³/EI)
で求められる。題意より、荷重はP、ヤング係数はE、1/48は定数である。これより、上の式は以下のように省略して比較することができる。
δ’ = l³/I
①梁Aの断面二次モーメントI_A
I_A = ｛a × a³｝/12 = a⁴/12
よって、δ_A = l³ × 1/I_A = 12l³ / a⁴
②梁Bの断面二次モーメントI_B
I_B = ｛a × a³｝/12 ×2 = 2a⁴/12
よって、δ_B = (2l)³× 1/I_A = 48l³ / a⁴
以上より、δ_A:δ_B =(12l³/a⁴) / (48l³/a⁴) = 1 : 4

解答　2：集中荷重が作用する単純ばりの弾性たわみδは、
δ = (1/48)・(Pl³/EI)
で求められる。題意より、荷重はP、ヤング係数はE、スパンは等しくl、1/48は定数である。これより、上の式は以下のように省略して比較することができる。
δ’ = 1/I
①梁Aの断面二次モーメントI_A
I_A = ｛a × (2a)³｝/12 = 8a⁴/12
よって、δ_A = 12/8a⁴
②梁Bの断面二次モーメントI_B
I_B = ｛(2a) × a³｝/12 = 2a⁴/12
よって、δ_B = 12/2a⁴
以上より、δ_A:δ_B = (1/8) / (1/2) = 1 : 4

解答　3：集中荷重が作用する単純ばりの弾性たわみδは、
δ = (1/48)・(Pl³/EI)
で求められる。題意より、荷重はP、ヤング係数はE、スパンは等しくl、1/48は定数である。これより、上の式は以下のように省略して比較することができる。
δ’ = 1/I
①梁Aの断面二次モーメントI_A
I_A = ｛D × (D/2)³｝/12 ×2= D⁴/48
よって、δ_A = 48/D⁴
②梁Bの断面二次モーメントI_B
I_B = ｛D × D³｝/12 = D⁴/12
よって、δ_B = 12/D⁴
以上より、δ_A:δ_B = (48/D⁴) / (12/D⁴) = 4 : 1

解答　4：梁Aは他年度の類似問題と同じように考えて問題ない。梁Bは片持ち梁がピンで繋がっており、左右どちらかの片持ち梁のたわみを考えるだけで良い。集中荷重が作用する片持ち梁の弾性たわみδは、

δ = (1/8)・(Pl³/EI)

で求められる。題意より、荷重はwlで等しく、ヤング係数はE、等質等断面なのでI、スパンは梁Aはl、梁Bはl/2、1/8は定数である。これより、上の式は以下のように省略して比較することができる。
δ’ = l⁴
よって、δ_A：δ_B = l⁴：(l/2)⁴ = 1 : 1/16 = 16:1

解答　4：等分布荷重が作用する弾性たわみδは、
・単純ばりは、δ = (5/384)・(wl・l³/EI)
・片持ち梁は、δ = (1/8)・(wl・l³/EI)
で求められる。題意より、荷重はwl、ヤング係数はE、スパンは等しくl、等質断面であるため等しくI、これより、
①等分布荷重の単純梁は、
δ_A  = 5/384
②等分布荷重の片持ち梁は、
δ_B = 1/8
以上より、δ_A：δ_B = (5/384) ： (1/8) = 5：48 (選択肢4)

解答　2：求める点Cにおけるたわみ角θ_Cは、A点におけるたわみ角θ_AとB点におけるたわみ角θ_Bとの和である。
θ_C = θ_A + θ_B
θ_Aは題意よりMl/EI、θ_Bはスパン2lの片持ち梁に置き換え、またモーメントM_Bは反時計回りに作用していることから、-2Ml/EIとなる。よって、
θ_C = θ_A + θ_B
      = Ml/EI – 2Ml/EI
      = – Ml/EI(反時計回り)

解答　2：集中荷重が作用する片持ち梁の弾性たわみδは、
δ = (1/3)・(Pl³/EI)
で求められる。題意より、荷重はP、ヤング係数はE、スパンは等しくl、1/3は定数である。これより、上の式は以下のように省略して比較することができる。
δ’ = 1/I
①片持ち梁Aの断面二次モーメントI_A
I_A = ｛2a × (a)³｝/12 = 2a⁴/12
よって、δ_A = 1/I_A = 12/2a⁴
②片持ち梁Bの断面二次モーメントI_B
I_B = ｛a × (2a)³｝/12 = 8a⁴/12
よって、δ_B = 1/I_B = 12/8a⁴
以上より、δ_A/B = δ_A/δ_B = (1/2) / (1/8) = 4 (選択肢2)

解答　4：題意より、1層の水平剛性=2K、２層の水平剛性=Kであるから、各層の柔性は、以下のようになる。

1層の柔性=1/2K、2層の柔性=1/K

次に各層の層間変位を求める。「層間変位σ」は各層に作用する層せん断力に柔性を乗じて求められ、各層の「層せん断力Q」はその層より上部に作用する水平力の和である。題意で「梁は剛とし、柱の軸方向の伸縮はないもの」とあるので、左右の変位量は等しい。

1層の層せん断力Q₁=P+2P=3P
2層の層せん断力Q₂=2P

1層の層間変位σ₁=3P × (1/2K)= 3P/2K
2層の層間変位σ₂=2P × (1/K)= 2P/K

よって層間変位の比σ₁とσ₂は、
σ₁：σ₂ = 3P/2K：2P/K = 3：4

解答　4：「層間変位(σ)」は各層に作用する層せん断力(Q)に柔性を乗じて求められる。また「柔性」は水平剛性(K)の逆数である。このため、以下のような式になる。
σ=Q×(1/K)
⇔K=Q/σ

「層せん断力(Q)」はその層より上部に作用する水平力の和であるため、
3層の層せん断力Q₃=4P
2層の層せん断力Q₂=3P+4P=7P
1層の層せん断力Q₁=2P+3P+4P=9P

題意より各層の層間変位(σ)は等しいので、各層の水平剛性は、
K₁：K₂：K₃= Q₁：Q₂：Q₃= 9P：7P：4